Человек идет с постоянной скоростью вдоль радиуса вращающейся карусели. Какой будет траектория его движения относительно земли?

Три собаки сидят в вершинах равностороннего треугольника. По команде они вскакивают, и каждая собака устремляется к своей соседке справа. Все три собаки бегут с одинаковой скоростью. Каждая собака все время строго следует за той, за которой ояа гонится. Встречаются все три собаки в центре треугольника. Спрашивается, форму какой кривой имеет траектория каждой собаки?

Ответ во всех случаях один — спираль, по все три спирали различны. О каждой из них я расскажу подробно, не забывая подчеркивать те их свойства, которые представляют интерес для занимательной математики.

В первой задаче любая точка качающейся доски движется по кривой, которая называется эвольвентой окружности. Эвольвента любой кривой (в том числе и окружности) строится так. Нужно взять нитку, прикрепить ее к той кривой, эвольвенту которой мы хотим построить, и, натянув нить вдоль кривой, начать ее разматывать (следя за тем, чтобы нить все время оставалась

Рис. 1. Построение эвольвенты окружности

натянутой). Любая точка нити опишет кривую, которая и называется эвольвентой исходной кривой. Вспомните, как пасется коза, привязанная к цилиндрическому колышку: если веревка намоталась на колышек, то коза, стремясь отойти как можно дальше от него и натягивая все время веревку, будет двигаться по эвольвенте окружности — сечения колышка.

Изящный способ вычерчивания эвольвенты окружности показан на рис. 1. Вырезав из толстого картона небольшой круг, приклейте его к листу бумаги. Сверху приклейте еще один круг немного большего диаметра с радиальной прорезью на краю. Завязав на конце нитки узелок, проденьте ее в прорезь и обмотайте вокруг нижнего кружка. На свободном конце нити сделайте петлю и вставьте в нее острие карандаша. Если теперь, предварительно натянув нить, начать ее разматывать, то карандаш вычертит на бумаге спираль — эвольвенту окружности. Расстояние между соседними витками такой спирали, измеренное вдоль прямой, касательной к г ранице меньшего круга, остается постоянным и равным длине его окружности. Окружность меньшего круга называется эволютой спирали.

Человек, идущий по радиусу вращающейся карусели, описывает относительно земли кривую, которая называется архимедовой спиралью (первым этот тип спирали исследовал Архимед, посвятивший ей почти весь свой трактат «О спиралях»). Наденьте на диск проигрывателя картонный круг, поставьте на него острие карандаша и ведите карандаш с постоянной скоростью от центра к краю диска вдоль радиуса — на круге появится архимедова спираль. Хорошо всем знакомые бороздки на пластинке также имеют форму архимедовой спирали. Уравнение спирали Архимеда в полярных координатах выражает ее основное свойство: какую бы точку этой спирали мы ни взяли, отношение длины ее радиуса-вектора (расстояния от начала координат до выбранной точки) к полярному углу (отсчитываемому от некоторого фиксированного направления) будет одним и тем же. Спирали очень просто записываются в полярных координатах, но их уравнения в прямоугольных координатах очень сложны.

Если спираль Архимеда требуется вычертить поточнее, можно воспользоваться прибором, изображенным на рис. 2. Прибор состоит из двух уже знакомых вам картонных кружков, к которым с

Рис. 2. Устройство для вычерчивания спирали Архимеда

помощью булавки прикрепляется полоска картона специальной формы. При вращении полоски карандаш перемещается вдоль ее края со скоростью, которая, как легко понять, будет пропорциональна скорости вращения.

Первый виток архимедовой спирали с виду очень похож на эвольвенту окружности, однако на самом деле эти кривые не совпадают. Расстояние между витками архимедовой спирали тоже есть величина постоянная, но измеряется оно не вдоль касательной к окружности, а вдоль радиуса. В обиходе чаще всего встречаются спираль Архимеда и эвольвента окружности, например плотно скрученные пружины, края свернутых ковров или рулонов бумаги и т. д. Обычно ни одна из этих кривых не является идеальной спиралью, поэтому бывает довольно сложно определить, какая из двух спиралей ближе к рассматриваемой кривой.

Построив точную спираль Архимеда, вы получили инструмент для деления с помощью циркуля и линейки любого угла на любое число равных частей, в том числе и па три части. Трисекция угла осуществляется следующим образом. Совместите вершину угла с полюсом спирали, а его стороны продолжите до пересечения с однимь из витков (рис. 3). Поставив ножку циркуля в точку Р, опишите дугу АВ. Отрезок АС разделите обычным образом на три части. Через полученные две точки проведите до пересечения со спиралью дуги окружностей с центром в точке Р. Соединив точки О и Е, принадлежащие спирали,

Рис. 3. Трисекция угла с помощью спирали Архимеда

с вершиной угла, вы получите решение задачи. Докажите теперь, что построение выполнено правильно.

На рис. 4 изображено устройство механизма, который часто используют для преобразования равномерного вращения колеса в равномерное поступательное движение поршня. (Этот принцип положен в основу многих швейных машин, в которых катушка вращается, а нить движется поступательно вперед и назад.)

Собаки, загоняющие друг друга в центр равностороннего треугольника, перемещаются вдоль логарифмических спиралей. Логарифмическую спираль можно определить как кривую, пересекающую все радиусы-векторы под одним и тем же углом. Пусть в условии задачи фигурируют не собаки, а три точки. Тогда каждая точка пройдет конечное расстояние (равное двум третям стороны треугольника), но для этого ей потребуется сделать бесконечное число витков вокруг полюса!

Если по условию задачи n собак (n>2) располагаются в вершинах правильного n-угольника, то и то- гда траекторией движения каждой собаки всегда будет логарифмическая спираль. Случай n=2 соответствует тому, что две собаки бегут друг к другу по прямой. При п=бесконечность собаки носятся друг за другом по окружности. Итак, с помощью довольно грубого метода мы показали, что логарифмическая спираль вырождается в прямую и в окружность, когда угол, образованный ею с радиусом-вектором, равен соответственно 0° и 90°.

Кривая, пересекающая все земные меридианы и образующая с ними какой-нибудь постоянный угол (кроме прямого), тоже является логарифмической спиралью и имеет специальное название: локсодрома (или линия постоянных углов). Если бы вы летели на северо-восток, строго выдерживая все время направление по компасу, то вы описали бы локсодрому, которая привела бы вас на Северный полюс. Так же как в задаче о собаках, ваш путь имел бы конечную длину, но (если бы вы были точкой) завершался бы в полюсе лишь после бесконечного числа витков вокруг него. Проекция траектории вашего

Рис. 4. Преобразование вращательного движения в поступательное с помощью спирали Архимеда

полета на плоскость, касательную к поверхности Земли в полюсе, оказалась бы точной логарифмической спиралью.

Разные спирали, встречающиеся в природе, чаще всего бывают логарифмическими. В самом деле, вспомните свернутую спиралью раковину наутилуса, раковины улиток, соцветия мнегих растений, например маргаритки или подсолнуха, сосновую шишку, на которой чешуйки располагаются вдоль спирали. Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмическим спиралям. В книге Жана Анри Фабра «Жизнь паука» целое приложение посвящено математическим свойствам логарифмической спирали и наиболее замечательным случаям, когда она встречается в природе. Спиралям, встречающимся в мире растений и животных, и их тесной связи с золотым сечением и числами Фибоначчи, посвящена обширная литература, нередко весьма эксцентричного характера. Особенно часто цитируют книгу «Кривые жизни» Теодора Андреа Кука, впервые изданную в 1914 году и с тех пор долго не переиздававшуюся.

На рис. 5 изображено простое устройство для вычерчивания логарифмической спирали. Один край картонной полоски опирается на булавку, закрепленную в полюсе будущей спирали. Проведя короткий отрезок вдоль наклонного выреза, вы немного поворачиваете полоску и подвигаете ее так, чтобы следующий отрезок начинался от конца предыдущего. Таким образом на бумаге появится рисунок, состоящий из ряда хорд и напоминающий паутину. Из устройства прибора ясно, что все хорды образуют с радиусом-вектором один и тот же угол. Чем меньше будут построенные вами отрезки, тем, конечно, точнее получится спираль. С помощью этого прибора можно также проверить, является ли какая-нибудь спираль логарифмической.

Когда угол а прямой, спираль вырождается в окружность. Спираль оказывается собственно эвольвентой, если угол составляет 74°39' (точное значение на самом деле чуть-чуть больше). Эвольвента любой логарифмической спирали всегда будет логарифмической спиралью, но существует единственный случай, когда эти две спирали совпадают.

Логарифмическую спираль открыл Ренэ Декарт. Якоб Бернулли, швейцарский математик, живший в XVII веке, был потрясен тем, что логарифмическая спираль способна восстанавливать себя после различных

Рис. 5. Как начертить логарифмическую спираль

преобразований (например, после перехода от логарифмической спирали к ее эвольвенте). Этот факт произвел на Бернулли настолько сильное впечатление, что он завещал высечь на своем надгробии спираль и надпись Eadem mutata resurgo («Измененная, я вновь воскресаю»). Последняя воля Бернулли была выполнена крайне небрежно. Латинское изречение на надгробном камне вообще отсутствует, а бесталанному граверу удалось выбить лишь грубую копию то ли спирали Архимеда, то ли эвольвенты окружности. Эту спираль можно увидеть на могиле Бернулли в Базеле. С первого взгляда ясно, что выбитая на камне спираль не является логарифмической, потому что расстояние между ее завитками по мере удаления от полюса не увеличивается.

Логарифмические спирали в природе могут достигать гигантских размеров. С этой точки зрения наиболее впечатляющим примером является спиральная структура галактик. Этот факт представляет собой не меньшую задачу, чем проблема их строения. Известно, что галактики состоят из горячих звезд и скоплении газа, которые в результате вращения галактики распределяются вдоль ветвей логарифмической спирали. Представьте себе скопление биллионов звезд, которое вращается в пространстве подобно огромной детской вертушке. Слабое белое свечение Млечного Пути объясняется тем, что мы смотрим на него как бы сбоку, сквозь две огромные ветви нашей собственной Галактики. Наблюдения показывают, что у центра Галактики ветви спирали вращаются значительно быстрее, чем на границе, то есть они должны были бы быстро раскрутиться и, может быть, даже вообще уничтожиться. Однако галактики, как правило, сохраняют спиральную структуру, что говорит о том, что ветви вовсе не раскручиваются. Существует теория, согласно которой, с одной стороны, ветвь непрерывно обогащается светящимся газом, а с другой — он испаряется, в результате чего ветви галактики имеют вполне определенную форму, характерную для данной галактики*.

В пространстве аналогом спирали является винтовая линия. Спираль, так же как и винтовая линия, асимметрична. Это означает, что на плоскости существуют две разновидности каждой спирали, одна из которых будет зеркальным отражением другой. Если на спираль можно смотреть с обеих сторон, как на паутину или (представим себе, что уже имеем возможность совершать дальние космические полеты) как на галактики, то ее на правление зависит от того, в какой точке находится наблюдатель. Спираль, которую нельзя ни обойти, ни повернуть, чтобы взглянуть на нее с другой стороны, всегда бывает закручена либо по часовой стрелке, либо в противоположном направлении.

Понятие «по часовой стрелке» останется, конечно, неоднозначным до тех пор, пока вы не определите, входите ли вы в спираль и перемещаетесь по ней к центру или же, наоборот, выходите из спирали, двигаясь от центра. На вышеупомянутой неоднозначности основан один забавный фокус с карандашом и бумагой. Попросите кого-нибудь нарисовать в левой части листа бумаги спираль, начав с ее центра. Затем прикройте рисунок рукбй и попросите того же человека нарисовать справа зеркальное отражение этой спирали, но начав с самого большого завитка и постепенно закручивая спираль к центру. Обычно люди просто меняют направление движения карандаша на обратное, в результате чего на бумаге возникает вторая спираль, закрученная в ту же сторону.

Аналогичного зрительного эффекта можно добиться и другим способом. Возьмите мягкий карандаш и нарисуйте на картонном диске спираль с очень плотно расположенными завитками. Закрутив диск на проигрывателе, вы увидите, что спираль либо сжимается, либо, наоборот, расширяется в зависимости от ее направления. Еще более удивительный психологический опыт можно демонстрировать с помощью двух дисков, на которых нарисованы спирали, закрученные в разные стороны.

Встаньте над проигрывателем и, закрутив на нем диск с «расширяющейся» спиралью, в течение нескольких минут пристально смотрите перпендикулярно вниз в самый ее полюс. Затем быстро переведите взгляд па чье-нибудь лицо. В первый момент вам покажется, что оно неожиданно уменьшилось. Проводя тот же опыт со спиралью, закрученной в другую сторону, вы получите противоположный эффект: лицо, на которое вы смотрите, вдруг начнет расширяться. Каждый, кто ездил на поезде. наверное, сталкивался с подобным обманом зрения. Если долго смотреть в окно движущегося поезда, то в момент его остановки кажется, что весь пейзаж поехал в обратном направлении. Сначала эффект пытались приписать усталости глазных мышц, однако после опыта со спиралями появилось другое объяснение, согласно которому этот зрительный обман является результатом обработки информации, поступившей в клетки головного мозга от зрительных нервов.

Асимметрия спирали делает ее как нельзя более удобной для того, чтобы продемонстрировать трудности общения с внеземными цивилизациями. Представим себе, что ученым удалось установить радиосвязь с планетой X, находящейся где-то в нашей Галактике. Обрабатывая в течение десятилетий сложные импульсные сигналы, мы наконец научились свободно разговаривать с разумными человекоподобными существами, населяющими планету X. Предположим, что планета Х имеет такую же высокоразвитую культуру, как и наша Земля, но из-за толстого и плотного слоя облаков (как в атмосфере Венеры), окружающего планету, ее жители даже не подозревают о существовании астрономии и никогда в жизни не видели ни одной звезды. Послав на планету Х подробное описание некоторых самых известных галактик, жители Земли получили следующий ответ:

«Вы сообщаете, что наблюдаемая с Земли спиральная туманность N005194 имеет две ветви, закрученные наружу по часовой стрелке. Объясните, пожалуйста, смысл слов "по часовой стрелке"».

Иными словами, ученые планеты Х хотят удостовериться в том, что, записав со слов своих земных коллег признаки туманности N005194, они смогут нарисовать именно туманность, а не ее зеркальное отражение.

Но как сообщить на планету X, в какую сторону закручена туманность? Бессмысленно говорить, что по мере удаления от центра туманности мы бы двигались по ее ветви слева направо, ибо у нас нет полной уверенности в том, что на планете Х понятия «левое» и «правое» имеют тот же смысл, как и у нас. Если бы мы ухитрились передать на планету Х какое-нибудь однозначное определение понятия «левое», то проблема мгновенно бы решилась.

Сформулируем задачу точнее: как с помощью импульсных сигналов передать смысл понятия «левое»? Мы, то есть передающая сторона, имеем право произносить любые слова, требовать любое необходимое экспериментальное оборудование, но при этом накладывается единственное ограничение: не существует ни одного асимметричного объекта, который наши корреспонденты и мы могли бы наблюдать совместно.

Без этого условия не было бы и задачи. Поясним на примере. Послав на планету Х ракету с вложенным в нее портретом человека, у которого отмечены «верх», «низ», «правое» и «левое», мы бы тем самым сразу сообщали, какой смысл вкладывают на земле в понятие «левое». Вместо картинки можно было бы воспользоваться циркулярно поляризованным излучением, которое в нашем случае является аналогом спирали. Если бы обитатели планеты Х имели антенны для определения направления поляризации, то мы бы довольно быстро добились взаимопонимания по поводу того, что такое «левое». Однако во всех этих методах нарушается поставленное условие о том, что не допускаются совместные наблюдения никаких асимметричных объектов.

"Математические досуги"