Любое целое число, кроме нуля, может служить основанием одной из систем счисления. Простейшая система счисления имеет в качестве основания единицу и оперирует одним-единственным символом. Примером использования единичной системы могут служить насечки, которые житель необитаемого острова делает на дереве, чтобы не потерять счет дням, или же нанизанные на проволоку шарики, по которым игроки в бильярд ведут счет очкам. В двоичной системе число символов равно двум: 0 и 1. В распространенной сейчас во всем мире десятичной системе используется десять символов. Чем больше основание, тем компактнее записывается любое большое число. Число 1000, записанное в десятичной системе, при переходе в двоичную систему потребует десять знаков (1111101000), а в единичной системе будет состоять уже из 1000 знаков. Неудобство систем с большим основанием состоит в том, что приходится запоминать больше цифр и составлять обширные таблицы сложения и умножения.

Время от времени некоторые реформисты обнаруживают поистине фанатическое рвение в попытке свергнуть так называемую «тиранию десятки» и заменить число 10 каким-нибудь другим основанием, по их мнению, более удобным. Совсем недавно была очень популярна двенадцатеричная система счисления с основанием, равным 12. Основное преимущество двенадцатеричной системы состоит в том, что ее основание делится без остатка на 2, 3 и 4 (бесконечная десятичная дробь 0,3333..., равная '/з, в двенадцатеричной системе записывается всего одним знаком после запятой: 0,4). Сторонники двенадцатеричной системы появились еще в XVI веке. В более позднее время к их числу принадлежали столь выдающиеся люди, как Герберт Спенсер, Джон Квинси Адамс и Джордж Бернард Шоу. Герои романа Г. Дж. Уэллса «Когда спящий проснется» пользуются двенадцатеричной системой счисления вплоть до 2100 года. Существует даже Американское двенадцатеричное общество, выпускающее два периодических издания: «Двенадцатеричный бюллетень» («Тhe Doudecimal Bulletin») и «Руководство по двенадцатеричной системе» («Manual of the Dozen System»). Всех «двенадцатеричников» общество снабжает специальной счетной линейкой, в которой в качестве основания используется 12. По уставу общества число 10 обозначается знаком Х (читается дэк), а число 11 — знаком (тройка, отраженная в зеркале), который произносится как «эл». Первые три степени числа 12 называются соответственно до, гро, мо; поэтому, скажем, число IIIХ читается следующим образом: мо-гро-до-дек. Сторонникам шестнадцатеричной системы написано немало забавнейших книг. В 1862 году Джон У. Нистром выпустил в Филадельфии частное издание — «Проект новой арифметической и денежной системы, а также системы мер и весов, которую предлагается называть тональной системой, с основанием, равным шестнадцати» («Рroject of a New System of Arithmetic, Weight, Measure and Conis, Proposed tj be called the Tonal System, with Sixteen to the Base»).

В своем «Проекте» Нистром требует, чтобы числа от 1 до 16 назывались эн, ди, тай, гоу, ею, бай, ра, ми, най, коу, хью, вай, ла, поу, фай, тон. Джозеф Боуден, математик из Адельфийского колледжа, считал наиболее подходящим основанием также число 16, но предлагал сохранить обычные названия для чисел от 1 до 12, а остальные четыре числа называть тран, фрон, фин, ванти. В обозначениях Боудена число 255 запишется как . Этот символ читается «финти фин».

В ближайшее время едва ли кому-нибудь удастся «свергнуть тиранию 10», но это не мешает математику решать каждую задачу в той системе счисления, которая представляется ему наиболее целесообразной. Пусть, например, изучаемое им явление описывается параметром, принимающим всего два значения. (Этим «явлением»

Десятичные числа	Троичные числа
	33 32 31 3o
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 1 1 2 2 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0

может быть программа для вычислительной машины, работающей по схеме «да—нет».) Тогда двоичная система может оказаться значительно эффективнее, чем десятичная. Точно так же задачи, характеризующиеся тремя величинами, нередко легче всего решаются в троичной системе, имеющей своим основанием число 3.

В троичной арифметике имеется три знака: 0, 1, 2. В числе, записанном в троичной системе, каждая цифра означает, что ее надо умножить на определенную степень 3, причем чем левее стоит цифра, тем выше степень. Рассмотрим, например, троичное число 102. Двойка означает, что ее надо умножить на 3° (что дает 2х1=2), 0 обозначает «пустой разряд», то есть 3' отсутствует. Единицу в старшем разряде надо умножить на 3², то есть 1х9=9. Сложив все три числа, мы получим 2+0+9=11. Одиннадцать — это десятичный эквивалент троичного числа 102. Справа показано, как записываются в троичной системе числа от 1 до 27. (Между прочим, китайские счеты¹ можно очень легко приспособить под вычисление в троичной системе. Для этого их достаточно перевернуть и использовать ту часть, где костей не пять, а всего две.)

Наиболее привычная ситуация, в которой проявляется необходимость троичного анализа, — это, пожалуй, взвешивание на чашечных весах. Здесь могут возникнуть три разных случая: либо одна из чашек перевесит другую, либо наоборот, либо же чашки уравновесят друг друга. Еще в 1624 году Клод Гаспер Баше во втором издании своей книги по занимательной математике опубликовал задачу. В ней нужно было определить, какое минимальное число гирь потребуется для того, чтобы взвесить любой предмет, вес которого равен целому числу фунтов, заключенному между 1 и 40. Оказывается, что если гири разрешается класть лишь на одну чашу весов, то их требуется по меньшей мере 6, причем вес самой легкой гири составляет 1 фунт, а каждая последующая в два раза тяжелее предыдущей. Иными словами, получается ряд, состоящий из последовательных степеней числа 2: 1, 2, 4, 8, 16, 32. Если же гири разрешается класть на обе чаши весов, то гирь потребуется всего лишь 4, а их веса образуют ряд последовательных степеней числа 3: 1, 3, 9, 27.

Пусть перед нами лежит какой-то предмет весом n фунтов. Какие гири понадобятся для того, чтобы его взвесить? Прежде всего запишем число n в троичной системе. Затем изменим обозначения и вместо цифр 0, 1, 2 будем писать 0, 1, -1. Для этого каждую двойку в числе n заменим на -1, а цифру, стоящую слева от нее, увеличим на 1. Если при этом появляется новая двойка, то с ней надо проделать в точности то же самое. Если же возникает 3, то вместо нее надо написать 0, а к цифре, стоящей слева, прибавить 1. Пусть, например, вес предмета составляет 25 фунтов. Записав это число в троичной системе, мы получим 221. Заменим первую цифру 2 на -1, а слева перед всем числом напишем 1. Вместо второй двойки тоже поставим -1 и прибавим 1 к цифре, стоящей

Как взвесить предмет весом 25 фунтов.

слева. У нас получится число 10-11. Оно эквивалентно первоначальному (простая проверка дает: 27+0-3+1=25), но зато по его виду можно сразу сказать, какие понадобятся гири и на какую чашу весов их следует класть. На одну из чаш кладется взвешиваемый предмет. Рядом с ним ставятся гири, соответствующие цифрам со знаком минус. Цифры, имеющие знак плюс, обозначают гири, которые нужно поставить на другую чашу весов. На рисунке показано, как надо распределить гири, чтобы взвесить предмет в 25 фунтов.

Пусть вы хотите определить вес какого-то предмета, зная, что он равен целому числу фунтов от 1 до 27. Каким наименьшим числом гирь можно обойтись, если их разрешается класть на обе чашки весов? Здесь нет никакой ловушки, хотя одна небольшая хитрость все же имеется, и вам вряд ли удастся с первого же раза назвать правильный ответ.

В качестве примера более сложных задач о взвешивании рассмотрим задачу о 12 монетах (впервые о ней заговорили в 1945 году; с тех пор опубликовано немало статей, посвященных ее разбору). Имеется двенадцать совершенно одинаковых монет, среди которых есть одна фальшивая. Известно, что эта монета либо чуть-чуть тяжелее, либо чуть-чуть легче остальных. Можно ли с помощью трех

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

001 002 010 011 012 020 021 022 100 101 102 110

221 220 212 211 210 202 201 200 122 121 120 112

взвешиваний найти фальшивую монету и определить, легче она или тяжелее, чем настоящая, если в вашем распоряжении есть весы с двумя чашами, но нет гирь?

Эта задача была блестяще разобрана К. Л. Стонгом в майском номере журнала Scientific American за 1955 год. Одно из ее решений (а их довольно много) связано с троичной системой.

Сначала запишите все числа от 1 до 12 в троичной системе. Замените в каждом числе цифру 2 на 0, а 0 на 2 и запишите рядом результат. У вас получится три столбца чисел (см. табл. 2).

Внимательно изучив эти числа, вы обнаружите все числа, в которых встречаются сочетания 01, 12, 20 (в таблице они выделены жирным шрифтом). Каждой из двенадцати монет поставим в соответствие одно из этих чисел.

При первом взвешивании на левую чашу весов кладем четыре монеты, обозначенные числами, которые начинаются с 0, а на правую чашу весов кладем те четыре монеты,

Как найти фальшивую монету с помощью трех взвешиваний

которым соответствуют числа, начинающиеся с 2. Если монеты уравновесят друг друга, вы можете утверждать, что число, которое отвечает фальшивой монете, начинается с 1. Если перевесит левая чашка, то искомое число начинается с 0, а если правая - то с 2.

Взвешивая монеты второй раз, их надо распределять в зависимости от средней цифры. Если в центре стоит 0, монета кладется на левую чашу, если 2 — на правую. Вторая цифра числа, обозначающего фальшивую монету, определяется точно так же, как определялась его первая цифра при первом взвешивании.

Производя последнее взвешивание, вы кладете налево те монеты, которые обозначены числами, оканчивающимися на 0, а монеты, соответствующие числам, имеющим на конце 2, вы кладете на правую чашу весов. Таким образом вы узнаете последнюю цифру нужного вам числа. На рисунке видно, что после трех взвешиваний фальшивой оказалась монета 201. Она явно тяжелее всех остальных, потому что и на верхней, и на нижней схеме чаша с этой монетой перевешивает.

С задачей о 12 монетах тесно связаны многие карточные фокусы. Один из лучших фокусов известен под названием задачи Жергонна о трех стопках карт (в честь французского математика Жозефа Диеца Жергонна, который первым занялся анализом этой задачи еще в начале XIX века). Одного из зрителей просят просмотреть колоду из 27 карт и одну из них запомнить. Затем, держа колоду открытой картой вниз, зритель вынимает из нее по одной карте и раскладывает их слева направо в три стопки картинками вверх. Каждая стопка будет состоять из девяти карт. Указав фокуснику стопку, в которой лежит задуманная карта, зритель кладет стопки друг на друга в любом порядке, затем опять переворачивает колоду картинками вниз и начинает еще раз раскладывать карты в три стопки картинками вверх. Показав, где теперь лежит задуманная карта, зритель повторяет ту же самую процедуру в третий раз, после чего колода, составленная из трех стопок, кладется на стол так, чтобы открытая карта была внизу. Все это время фокусник ни разу не прикасается к картам, но тем не менее он мгновенно говорит, в каком месте лежит задуманная карта.

Секрет фокуса заключается в том, чтобы заметить, куда зритель положил стопку с задуманной картой — под колоду, в середину ее или наверх. Обозначим эти три положения цифрами 0 (когда стопка находится в верхней части колоды), 1 (когда стопка лежит в середине) и 2 (когда стопка положена в самый низ). Если прочесть теперь справа налево троичное число, составленное в результате трех перекладываний, то получится число карт, лежащих в колоде поверх задуманной карты. Пусть например, стопка с задуманной картой была первый раз положена на самый верх колоды (как уже объяснялось, этому положению соответствует цифра 0), второй раз — в ее середину (1) и, наконец, последний раз — в самый низ (2). Записав эти цифры справа налево и переводя троичное число 120 в десятичную систему, мы получим число 15. Это означает, что поверх задуманной карты лежат еще пятнадцать карт, то есть искомая карта будет шестнадцатой. Разумеется, фокус нисколько не усложняется, если показывать его наоборот. Зрителю предлагается выбрать любое число от 1 до 27 и задумать какую-нибудь из 27 карт, а все дальнейшие манипуляции с колодой фокусник проделывает сам. Он трижды перекладывает стопки в точности так же, как уже объяснялось выше, после чего, отсчитав сверху выбранное зрителем число карт, протягивает ему задуманную карту.