Я имею в виду в первую очередь книгу "Флатландия", которая получила наибольшую известность. Она вышла в свет еще в 1884 году. Ее автором был лондонский священник Эдвин Эбботт. «Флатландия» не единственное

Одноглазые флатландцы, занимающие различное общественное положение (от низшей ступени до высшей).

произведение, написанное Эбботтом. Будучи директором школы, он создал также немало учебников. На титульном листе первого издания «Флатландии» был псевдоним А. Square¹. Повествование действительно велось от лица некоего квадрата! Единственный глаз рассказчика был расположен в одной из его четырех вершин. (О том, как рассказчик, не имея ног, ухитрялся передвигаться по поверхности Флатландии и как, не имея рук, смог написать книгу, автор деликатно умалчивает).

Флатландия Эбботта представляет собой поверхность, нечто вроде географической карты, а ее обитатели — флатландцы — скользят по ней, как по льду. Тела флатландцев по краям светятся, а высота их, или протяженность вдоль третьего измерения — вертикали, бесконечно мала. Сами флатландцы об этом даже не подозревают, поскольку лишены способности воспринимать третье измерение. Общество Флатландии строжайшим образом разделено на ступени (рис. 95). Низшую ступень общественной лестницы занимают женщины. Флатландские женщины очень похожи на иголку: это обыкновенные отрезки прямых со светящимся глазом на одном конце. Поскольку на противоположном конце отрезка никакого свечения нет, женщина, повернувшись «спиной», сразу становится невидимой. Если какой-нибудь флатландец мужчина случайно наткнется на острую «спину» флатландки, то такое столкновение может оказаться для него роковым. Во избежание несчастных случаев закон обязывает всех женщин непрерывно совершать концом отрезка, противоположным глазу, волнообразные движения, чтобы их всегда было видно. У тех дам, чьи мужья принадлежат к высшему обществу, волнообразные движения «ритмичны» и «приятны для глаза». Женщины попроще, тщетно пытаясь подражать великосветским дамам, обычно добиваются лишь «утомительно однообразных движений наподобие колебаний маятника».

Флатландские солдаты и рабочие представляют собой равнобедренные треугольники с очень короткими основаниями и острыми углами при вершинах. Равносторонние треугольники составляют средние слои населения. Флатландцы, владеющие какой-либо специальностью, имеют вид квадратов и пятиугольников. Высшие слои общества начинаются с шестиугольников. По мере продвижения вверх по общественной лестнице число сторон многоугольника увеличивается до тех пор, пока многоугольник не превратится в окружность. Окружности находятся на самой вершине иерархической лестницы и играют роль управляющих и жрецов Флатландии.

Рассказчик — некий квадрат — попадает во сне в одномерную страну Лайнландию², короля которой ему так и не удалось убедить в существовании двумерного пространства. Затем квадрат знакомится с шаром — пришельцем из Спейсландии³, который пытается помочь квадрату проникнуть в тайны трехмерного пространства. Поднявшись с помощью шара над родной Флатландией, квадрат получает возможность заглянуть внутрь своего дома, выстроенного в форме правильного пятиугольника. Вернувшись во Флатландию, квадрат начинает проповедовать учение о трехмерном пространстве, но его принимают за сумасшедшего и за высказанные им взгляды бросают в тюрьму. Так кончается эта книга.

Шару удалось пробраться во Флатландию благодаря тому, что он очень медленно продавливался сквозь плоскость до тех пор, пока в сечении не получилась фигура, имеющая максимальную площадь. Легко понять, что эта фигура представляла собой окружность с радиусом, равным радиусу шара. Предположим, что вместо шара во Флатландию проник куб. Чему равна максимальная площадь сечения единичного куба плоскостью? Пересекая плоскость, куб, разумеется, может как угодно поворачиваться.

Роман Чарлза Ховарда Хинтона «Эпизод из жизни Флатландии», вышедший в Лондоне в 1907 году, отличается от книги Эбботта значительно большей претенциозностью и большим объемом (около 200 страниц).

Хинтон был сыном знаменитого лондонского хирурга-отоларинголога Джеймса Хинтона, друга Джорджа Эллиота и автора многих книг, пользовавшихся в свое время широкой известностью. В молодости Хинтон изучал математику в Оксфорде. После женитьбы на Мэри Буль (одной из пяти дочерей известного логика Джорджа Буля) он поселился в Соединенных Штатах, где преподавал математику в Принстоне и Университете штата Миннесота. В последние годы жизни Чарлз Хинтон работал ревизором в Патентном бюро Соединенных Штатов. Умер он в 1907 году.

Нью-йоркская газета «Сан» поместила по этому поводу длинный некролог, автор которого привел немало красочных подробностей из жизни Хинтона. Однажды Хинтон пришел на футбольный матч с хризантемой в петлице сюртука. Какой-то незнакомец попытался сорвать цветок. Хинтон сграбастал обидчика и перебросил его через оказавшийся поблизости забор. В 1897 году Хинтон прославился тем, что изобрел автоматическую «биту» для игры в бейсбол. «Биту» заряжали порохом, и она выстреливала мячи с любой заданной скоростью и по какой угодно траектории. «Биту» в течение некоторого времени использовали для тренировки команды Принстонского университета, но после нескольких несчастных случаев игроки стали бояться ловить выпущенные ею мячи.

Наибольшую известность Хинтон тюлучил как автор книг и статей о четвертом измерении. Он развивал метод построения моделей четырехмерных фигур (по их трехмерным сечениям) из сотен маленьких кубов, определенным образом размеченных и раскрашенных. Метод подробно изложен в двух наиболее важных книгах Хинтона—«Четвертое измерение» ("The Fours Dimension") и «Новая эра в мышлении» ("A New Era of Thought") Хинтон утверждал, что в результате многолетней работы с кубами он научился мыслить четырехмерными образами. Он объяснил свой метод сестре жены, восемнадцатилетней Алисии Буль. Несмотря на отсутствие математического образования, девушка быстро овладела четырехмерной геометрией и впоследствии даже сделала немало важных открытий в этой области. (Об Алисии Буль и ее достижениях в четырехмерной геометрии рассказывает на страницах своей книги «Правильные политопы» Г. С. М. Коксетер⁴.)

Флатландия Хинтона, которую сам автор назвал Астрией, задумана более остроумно, чем страна Эбботта. Хинтон не позволяет жителям Астрии разгуливать

Двумерная планета Астрия, созданная воображением Чарлза Г. Хинтона

по плоскости где попало; вместо этого он расставляет своих героев, если так можно сказать, вертикально, вдоль всей длины огромной окружности. Разложив на столе монетки и подвигав их относительно друг друга, вы без труда представите, как вокруг плоского солнца вращаются плоские круглые планеты.

В плоском мире действует точно такая же гравитация, как и у нас, только сила, с которой взаимодействуют два тела на плоскости, обратно пропорциональна расстоянию между ними, а не квадрату этого расстояния, как в трехмерном пространстве.

Планета Астрия изображена на рисунке. Направление её вращения, указанное стрелкой, называется востоком, а противоположное ему — западом. Севера и юга нет, существуют лишь верх и низ. Тела астрийцев устроены очень сложно, и, чтобы не вдаваться в анатомические подробности, Хинтон изображает жителей своей планеты в виде прямоугольных треугольников. Все астрийцы, как и флатландцы, одноглазы. (По-видимому, ни одному из авторов не пришло в голову, что двумерные существа могли бы смотреть на мир двумя глазами, но с одномерной сетчаткой). В отличие от жителей Флатландии у астрийцев есть руки и ноги. Когда встречаются два астрийца, разойтись им непросто: одному приходится перелезать через другого (подобно тому, как расходятся канатоходцы).

В Астрии все женщины появляются на свет с лицом, обращенным на восток, а все мужчины — с лицом, обращенным на запад. Так они и живут до самой смерти, ибо ясно, что они не могут «повернуться» н превратиться в свое зеркальное отражение. Если астриец захочет увидеть, что происходит у него за спиной, ему придется либо перегнуться Назад и встать на голову, либо воспользоваться зеркалом. Последнее, безусловно, удобнее, поэтому в астрииских домах полно зеркал. Чтобы поцеловать собственного сына, отец должен перевернуть мальчишку вниз головой.

Обитаемую часть Астрии сначала поделили между собой цивилизованные унэйцы, жившие на востоке, и варварские племена сцинтиан, населявших западную область планеты. На войне у сцинтиан было одно огромное преимущество: сцинтианские мужчины могли атаковать унэйцев сзади, в то время как унэйцам оставалось лишь обороняться, повернувшись к противнику спиной. Используя это преимущество, сцинтианские племена гнали унэйцев на восток до тех пор, пока не вытеснили их на узкую территорию по берегам Белого моря.

Только развитие науки спасло унэйцев от полного вымирания. Наблюдая затмение и другие явления природы, их астрономы пришли к выводу, что они живут на круглой планете. Изучение отливов и приливов в Белом море дало унэйским ученым основание утверждать, что на диаметрально противоположной стороне планеты тоже должен существовать континент. Небольшой отряд унэйцев переправился через Белое море и в течение ста лет шел по этому континенту, преодолевая огромные трудности. Если на пути встречалось дерево, путникам приходилось либо влезать на него и затем спускаться вниз, либо спиливать это дерево под корень. Сыновья и дочери исследователей, выдержав все испытания, построили новые корабли и переправились через Черное море. Захваченные врасплох сцинтиане были мгновенно разбиты, потому что на этот раз удар с тыла нанесли унэйцы! Затем было учреждено Всемирное правительство, и на планете наступил мир. Изложенные события представляют собой лишь фон, на котором развертывается действие романа.

Я не буду утомлять читателя подробным пересказом сюжета двумерной мелодрамы. Она написана в лучших традициях ранних утопических романов, в которых бичуются пороки плутократии и превозносятся достоинства справедливого общественного устройства. В книге описывается довольно скучная любовная история, героями которой являются Лаура Картрайт, прекрасная дочь богатого и влиятельного государственного секретаря, и ее очаровательный (с точки зрения плоского наблюдателя) поклонник по имени Гарольд Уолл, выходец из рабочих. Роман пронизан мрачным ожиданием события, которое должно произойти в ближайшем будущем: прохождения возле Астрии другой планеты — Ардеи. Ученые Астрии подсчитали, что орбита их родной планеты в результате этого события превратится в сильно вытянутый эллипс и климат станет непригодным для жизни: то слишком жарким, то слишком холодным. Правительство Астрии разрабатывает грандиозный план строительства подземных убежищ, снабженных запасами продовольствия, для спасения представителей высших слоев астрийского общества.

К счастью, злой рок удалось одолеть с помощью математических теорий дяди Лауры — Хью Миллера, эксцентричного старого холостяка, жившего на одинокой горе. Миллер (прототипом которого, вероятно, был сам Хинтон) единственный в Астрии верил в третье измерение. В результате своих исследований он убедился в том, что все предметы обладают протяженностью, хотя и небольшой, вдоль третьей координаты и скользят по некоторой гладкой поверхности, названной им «плоским бытием». Изготовляя разные модели, Миллер развил в себе способность наглядно представлять себе трехмерные предметы и осознал, что сам он в

Сцена из семейной жизни астрийцев.

действительности трехмерен, хотя его телесная оболочка находится в двумерном пространстве.

«По обеим сторонам нашего плоского бытия бесконечно глубоко и далеко простирается сама жизнь, — заявляет Миллер в своем красноречивом послании правителям Астрии,—поймите это, и вы никогда больше не сможете смотреть в голубой купол неба, не испытывая при этом ощущения какого-то чуда. Как бы далеко ни проник ваш взор в бездонные глубины неба, он всегда будет лишь скользить рядом с неведомой нам жизнью, глубоко простирающейся вдоль недоступного нашим чувствам измерения.

Признание этих фактов пробуждает в нас нечто, напоминающее давно забытое чувство благоговейного преклонения перед небесами, ибо мы знаем, что созвездия не заполняют Вселенную бесконечным повторением одной и той же картины. Нет! Мы вправе ожидать внезапного и чудесного появления неизвестных доселе существ, о которых столько мечтали в старину. Если бы только мы могли знать, что кроется по ту сторону видимого!».

Если бы существовал механический способ, позволяющий дотронуться или прикрепиться к поверхности «плоского бытия», то траекторию Астрии можно было бы изменить так, чтобы полностью исключить влияние приближающейся планеты. Но такого способа нет, и Миллер решает использовать свое открытие: третье измерение своей личности. Трехмерный человек, рассуждает он, должен обладать способностью влиять на «плоское бытие». Миллер предлагает всему населению Астрии заняться тем, что в наши дни принято называть телекинезом (термин парапсихологии, означающий способность мысленно заставлять любые предметы изменять направление своего движения). Предложенный Миллером план был успешно осуществлен.

Объединив свои телекинетические способности, жители Астрии изменили ее орбиту и таким образом предотвратили катастрофу. Астрийская наука, вооруженная новыми представлениями о трехмерном пространстве, совершила огромный скачок вперед.

Интересно поразмыслить над физикой двумерного пространства и над тем, какие простые механические приспособления можно изготовить в плоском мире. В другом своем произведении Хинтон пишет (имеется в виду его рассказ «Плоский мир»), что в астрийских домах одновременно можно открыть не более одного окна или двери. Если открыт парадный ход, то все окна и черный ход должны быть закрыты, иначе дом разрушится.

В двумерном мире не могут существовать никакие трубы, тоннели и даже курительные трубки: их концы нельзя соединить между собой не перекрывая при этом внутреннего отверстия. На плоскости вам не удастся завязать узел, однако вы сможете использовать разного рода крюки, рычаги, муфты, клещи и маятники, клинья и наклонные плоскости. О том, чтобы использовать колеса с осями, не может быть и речи. Грубую зубчатую передачу можно было бы сконструировать, заключив каждую шестерню в ободок с прорезью для зубьев, находящихся в зацеплении. Можно придумать, как грести на астрийской лодке; астрийские самолеты должны махать крыльями, как птицы. Плоские рыбы с плавниками специальной формы плавали бы в астрийских реках и морях. Астрийский ликер можно было бы держать в бутылках и разливать в рюмки, но в нем, несомненно, явственно ощущался бы специфический привкус плоскости.

Тяжести можно было бы перевозить с места на место, подкладывая под них окружности в точности так же, как мы перевозим тяжелые трехмерные предметы, подкладывая под них цилиндрические катки. Астрийский метод перевозки тяжестей лежит в основе замечательной головоломки, которую мне недавно прислал один из читателей. На рисунке изображена груженая астрийская тележка длиной в тридцать футов, которая может перемещаться вдоль прямой на трех катках, имеющих форму окружности. Расстояние между центрами двух соседних окружностей всегда равно десяти футам. Как только тележка оказывается в положении, показанном на рисунке, астриец, подталкивающий ее сзади, берет заднюю (освободившуюся) окружность и передает ее своему помощнику, идущему перед тележкой. Тот подкладывает

Сколько колес переедет червяка?

окружность под тележку (см. окружность, показанную на рисунке пунктиром). Затем тележку снова толкают вперед вдоль прямой, по которой катятся три окружности. Как только тележка съедет с задней окружности, ту снова переставляют вперед. Так повторяется до тех пор, пока груз не прибудет к месту назначения. На рисунке тележка едет направо. Впереди тележки, ровно в пятидесяти футах от точки касания пунктирной окружности и прямой, находится астрийский червяк. Предположим, что он никуда не уползет. Сколько окружностей переедет через него?

Читателю рекомендуется сначала попытаться решить задачу в уме. Затем, взяв бумагу и карандаш, проверьте полученный ответ и, наконец, сравните его с ответом, приведенным в конце главы. Те, кому этой задачи покажется мало, могут попробовать обобщить ее для n колес, равноудаленных друг от друга. Как ни странно, размеры колес знать совсем не обязательно.

Говоря о трудностях «двумерного бытия», я заметил, что на плоскости не могут существовать тоннели, однако оказалось, что это не совсем так. Один из читателей сообразил, что крыша флатландского тоннеля может опираться на несколько дверей, подвешенных за верх на петлях. Идя по такому тоннелю, флатландец должен был бы каждый раз открывать по одной двери, а все остальные двери в это время поддерживали бы крышу. Правда, понадобился бы специальный механизм для того, чтобы все двери не могли открыться одновременно.

«Четвертое измерение» — так называется двенадцатая глава книги Флетчера Дюрелла «Математические приключения»⁵, в которой приводятся некоторые забавные рассуждения о жителях Тинландии⁶ — страны, во многом напоминающей Флатландию. Наличие двух глаз (одного на лбу, второго на подбородке) обеспечивает тинландцам бинокулярное зрение. Благодаря длинной шее они могут откидывать голову назад и видеть, что происходит у них за спиной. Когда женщине и мужчине надо при встрече обойти друг друга, мужчина обязан лечь на землю, чтобы женщина могла через него переступить. Помимо чисто механических трудностей жизни на плоскости, нельзя не сказать несколько слов и о тех. трудностях, которые поджидают всякого, кто вознамерится воссоздать устройство мозга жителей Тинландии. Эти трудности обусловлены топологическими особенностями расположения кривых на плоскости. Как известно, мозг (обычного, «трехмерного») животного представляет собой фантастически сложное переплетение нервных волокон в трехмерном пространстве. Воспроизвести нервную сеть на плоскости без самопересечений невозможно. Однако эта трудность не столь уж непреодолима, как может показаться на первый взгляд. Электрические импульсы вполне могут распространяться и по сети с самопересечениями, не сворачивая, так сказать, за угол на перекрестках.

О жене Буля, пяти его дочерях и их замечательных потомках рассказывается в статье Н. Гриджмэна «Похвала Булю»⁷. Мэри, жена Буля, в течение шестидесяти лет после смерти мужа «непрестанно писала о методах Буля и проповедовала их во многих областях науки, в том числе в теологии и этике, — пишет Гриджмэн. — Она была почти всецело поглощена мистикой алгебраической символики и размышлениями над ролью, которую играют в математике нуль и единица. В 1909 году Мэри Буль выпустила в свет книгу под названием «Философия и занимательное в алгебре», в которой настоятельно рекомендовала «тем, кто хочет... установить правильные взаимоотношения с Неизвестным», создавать на основе булевых методов свои собственные алгебры.

Говард Эверест Хинтон, внук Чарлза Хинтона и Мэри, старшей дочери Буля, стал известным британским энтомологом. Внучка Джоан стала физиком. Джеффри Тэйлор, сын Маргарет, второй дочери Буля, стал известным математиком и работает в Кембридже. О третьей дочери, Алисии, уже вкратце рассказывалось. Люси, четвертая дочь Буля, сейчас профессор химии в Королевском свободном госпитале в Лондоне. Самая младшая дочь Буля, Этель Лилиан, вышла замуж за польского ученого-эмигранта Вильфрида Войнича. В юности она написала роман «Овод». После первой мировой войны семья Войнич переехала из Лондона в Манхэттен. В 1960 году Этель скончалась на девяносто шестом году жизни.